Painel 3 - Números Racionais e Irracionais

Como o conjunto de números inteiros não dá conta de todas as operações de divisão, uma vez que 5 : 2 = 2,5   2,5 não têm sentido no conjunto dos números inteiros, não pertence ao conjunto de números inteiros, é necessário um conjunto numérico ampliado: o conjunto de números racionais.

Tópico 1 - Os números racionais

Numeros racionais_BDWebB
Numeros racionais_BDWebB

Os números racionais representam uma ampliação do conjunto de números naturais e inteiros, na medida em que incluem as frações, em suas duas formas:

  1. Forma decimal.

  2. Forma fracionária.

 

Observem a forma decimal em – 1,5 e a forma fracionária em 1/3.

Conclusões a partir da representação dos números racionais na reta

Frações_Freestuff_BDWebB
Frações_Freestuff_BDWebB

Podemos concluir que temos números racionais positivos ou negativos:

  • 1,5 = - 3/2

  • 15/3 = 3

  • 3/4 = 0.75

  • 1/3 = 0,333....

  • -4/3 = - 1, 333...

 

Desta forma, podemos também concluir que podemos incluir entre os números racionais:

  • Naturais

  • Naturais não-nulos
  • Inteiros
  • Inteiros não-nulos
  • Inteiros não negativos

  • Inteiros não positivos

 

Iremos observar:

  • Representação decimal positiva ou negativa

  • Representação fracionária positiva ou negativa

  • Representação decimal em forma de dízima periódica

 

Estes serão tópicos que iremos estudar sobre os números racionais.

 

Tópico 2 - Notação e condições de existência do conjunto dos números racionais

BDWebB
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Sabemos que a notação e as condições de existência do conjunto de números racionais são as seguintes:

 

Q = {x | x = p/q, p, qÎZ, q ≠ 0 }

 

Podemos ler esta notação e condição de existência do seguinte modo:

O conjunto de números racionais é igual aos números x tal que x tem a forma da fração p/q, sabendo-se que p e q pertencem ao conjunto de números inteiros e q é diferente de zero.”

Transformação da forma fracionária em decimal e as dízimas periódicas.

Sabemos que os números racionais podem se apresentar em forma fracionária ou decimal e que ambas podem ser representações equivalentes de um mesmo número.

Fração para número decimal_BDWebB
Fração para número decimal_BDWebB

Para transformarmos um número fracionário num número decimal, basta dividirmos o numerador da fração pelo denominador:

 

20/4 = 5

 

15/8 = 1,875

 

3/4= 0,75

 

27/4 = 6,75

 

Em alguns casos, teremos dízimas periódicas: observe.

Cálculo de transformação de dízima periódica em fração ordinária_BDWebB
Cálculo de transformação de dízima periódica em fração ordinária_BDWebB

28/7 = 3,285714285714285714... = 3,285714...

No caso acima temos uma dízima periódica simples   em que 3 é a parte inteira e 285714 ...é o período.

 

13/6 = 2,1666...

No caso acima temos uma dízima periódica composta em que 2 é a parte inteira, a parte não periódica é 1 e 6 é o período.

 

A partir destas divisões podemos concluir que: N C Z C Q

(O conjunto de números naturais está contido no conjunto de números inteiros que, por sua vez, está contido no conjunto de números racionais.)

 

Transformação da forma decimal em fracionária.

Conversão de fração em dizima periódica_BDWebB
Conversão de fração em dizima periódica_BDWebB

Supondo que temos um número decimal como 0,45. Podemos transforma-lo em fração. Neste caso, montamos uma fração cujo numerador é a parte decimal e cujo denominador é igual ao algarismo 1 seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte decimal. Assim:

 

0,45 = 45/100

 

Observe que no número decimal abaixo temos uma parte inteira e outra decimal.  Acompanhe a sistemática de cálculo:

 

3,785 = 3 785/1000= (3.1000 + 785)/1000 = 757/200

Observe agora as percentagens, sua forma decimal e sua forma fracionária:

Percentagem Decimal Fração
1% 0,01 1/100
4% 0,04 4/100 > 1/25
5% 0,05 5/100 > 1/20
10% 0,1 10/100 > 1/10
12 1/2% 0,125 125/1000 > 1/8
20% 0,2 20/100 > 1/5
25% 0,25 25/100 > 1/4
33 1/3% 0,333... 3/9 > 1/3
50% 0,5 50/100 > 1/2
75% 0,75 75/100 > 3/4
80% 0,8 80/100 > 4/5
90% 0,9 90/100 > 9/10
99% 0,99 99/100
100% 1 100/100 > 1
125% 1,25 125/100 > 5/4
150% 1,50 150/100 > 3/2
200% 2 200/100 > 2

Tópico 3 - Operação definida pelo conjunto de números racionais

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O conjunto de números inteiros define a operação de divisão entre dois números inteiros quaisquer.

 

Como vimos, é uma operação extremamente abrangente, pois o número resultante pode ser:

  • positivo,
  • negativo,
  • inteiro,
  • fracionário
  • ou de representação decimal, apresentando ou não dízimas periódicas simples ou compostas.

 

A partir destas transformações podemos fazer os exercícios da primeira seqüência-modelo.

 

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Exercício-Modelo 3.1

 

Escrevemos abaixo uma série de números racionais. Escreva-os na forma p/q inteiros, com q ≠ 0.

  1. 5

  2. 7

  3. 0

  4. 0,32

  5. 4,35

  6. 0,13...

  7. 0,1222

Tópico 4 - Conjunto dos números irracionais.

Vimos que podemos ter números decimais exatos (0,25, 1,4) e números que são dízima periódica (0,333...). Estes números estão enquadrados no conjunto dos números racionais.
Papo torto de nerd!_BDWebB
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Quando um número não é natural, não é inteiro, não é racional, mas apresenta:

  • uma parte decimal infinita;

  • que é também não periódica (5,123456789101112...);

temos que este número tem as características de um número irracional.

 

 

 

Números especiais como:

 

     V2= 1,1414213562...

  •  

  • π = 3,14159...

 

definidos por partes decimais infinitas e sem período compõem o conjunto de números irracionais, um conjunto muito específico e uma particularidade do conjunto dos números racionais.

 

Podemos, portanto, concluir que:

 

N c Z C Q (I)

O conjunto de números naturais está contido no conjunto de números inteiros que, por sua vez, está contido no conjunto de números racionais e o conjunto dos números irracionais (I) é uma particularidade deste conjunto.

Você está ficando bom em Matemática. Então, resolva o labirinto e abra a pórta.

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Exercício-Modelo 3.2

 

Quais as características de um número irracional?

 

Conferir gabarito dos exercícios-modelo 3.1 e 3.2 em: Gabarito Ex-Painel 3.

 

 

 

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